Задачи к теоретической карте № 1

Задачи к теоретической карте № 1

№1. Отыскать подобные треугольники и обосновать их подобие.

A

2. А

4.
B


5.

6.
C
D
E
B
A

7.
7.
В
АВСD – трапеция.

8.

9.
F
M

В
10.
C

11.
A
B

12.

13.

15.
14.
C
D
B
A

B
C
A

Рис. 10

№2. Отыскать подобные треугольники и обосновать их подобие.

2.
A

3.
N

4.

5.
C

6.

8.
7.
B


9.

12.
Обосновать, что ∆A1B1C ~∆ABC и отыскать Задачи к теоретической карте № 1 коэффициенты подобия.

10.

11.

C

Рис. 11

№3. Точка К лежит на стороне АВ треугольника АВО и разделяет сторону АВ на отрезки ВК=12 и АК=4. Углы ВОК и ВАО равны. Отыскать площадь треугольника ВОК, если .

План решения.

1. ∆ВОК~∆ВАО.

2. ОВ.

3. sin

4. S∆вок. Ответ: 48.

Применяемые факты из теоретической
карты: 1; 2.

№4. В треугольнике CEH Задачи к теоретической карте № 1 угол С равен 450, точка Т разделяет сторону СЕ на отрезки СТ=2, ЕТ=14. Углы CHT и СЕН равны. Отыскать площадь треугольника СНТ.

Ответ: 4.

№5. В треугольнике АВС АВ=8, ВС=12, АС=16. Точка D разделяет АС на отрезки AD=7 и DC=9. Отыскать BD.

План решения.

1. ∆ BCD~∆ АСВ.

2. BD.

Ответ: 6.

Применяемые факты из теоретической карты Задачи к теоретической карте № 1: 1; 2; 3.

№6. В треугольнике АВС на медиане ВМ выбрана точка К так, что ÐМКС=ÐВСМ. Обосновать, что ÐАКМ=ÐВАМ.

План подтверждения.

1. ∆МСВ~∆МКС .

2. ; .

3. ∆ABM~∆KAM.

4.

Применяемые факты теоретической карты:1; 2.1; 2.2.

№7.В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной b, проведены биссектрисы углов при основании. Длина отрезка прямой меж точками
скрещения биссектрис с Задачи к теоретической карте № 1 боковыми сторонами равна m. Найти основание треугольника.

План решения.

1. А1С1|| АС.

2. ∆АС1А1: АА1=А1С1=m и

∆ С1А1С: А1С1=С1С=m.

3. ∆ С1ВА1~∆АВС.

4. АС.

Ответ:

Применяемые факты теоретической карты: 4.1; 1

№ 8. Основание равнобедренного треугольника равно 8, а боковая сторона 12. Отыскать длину отрезка, соединяющего точки скрещения Задачи к теоретической карте № 1 биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника.

Ответ: 4,8.

№ 9. Дан равнобедренный треугольник с основанием 18 см и высотой 12 см. Отрезок какой длины необходимо отложить от верхушки треугольника на его боковых сторонах, чтоб соединив их концы, получить трапецию с периметром, равным 40 см?

План решения.

1. АF.

2. AB.

3. Выразить AD через BD.

4. Выразить РADEC через BD Задачи к теоретической карте № 1 и DE.

5. Выразить DE через BD.

6. ∆DBE~∆АВС.

7. BD. Ответ: 10 см.

Применяемые факты теоретической карты: 4.1; 1.

№10. Обосновать, что если меж сторонами а, b, и с треугольника АВС
существует зависимость а2=b2+bc, то углы А и В, противолежащие сторонам а и b, удовлетворяют равенству ÐА=2 В.

План Задачи к теоретической карте № 1 подтверждения.

1.

2. Выстроить треугольник со сторонами

в+с, а (∆ ВСD).

3. ∆ АВС~∆ ВDC.

4.

5.

Применяемые факты теоретической карты: 2.2; 1.

№11. Обосновать, что отрезок прямой, лежащий снутри трапеции и проходящий через точку скрещения ее диагоналей параллельно основаниям, делится этой точкой напополам.

План подтверждения.

1. . 2. . 3. 4. 5. MO=ON.

Применяемые факты из теоретической карты: 4.1; 1.

№ 12. В трапеции АВСD проведены диагонали АС и ВD Задачи к теоретической карте № 1, пересекающиеся в точке F. Из верхушки С проведена ровная СК, параллельная боковой стороне AD и пересекающая диагональ DB в точке L, а основание АВ в точке К так, что DF=BL. Отыскать отношение AB к CD.

План решения.

1.

2. 3.

4. 5.

Рис. 19 6. Решить уравнение , где .

Применяемые факты из теоретической карты: 2.1; Ответ:

№13.Основания ОК Задачи к теоретической карте № 1 и МР трапеции ОКМР равны 8 и 4 соответственно. Диагонали пересекаются в точке С, а площадь треугольника СМР равна 20. Отыскать площадь трапеции.

План решения.

1. h1. 2. 3. h2. 4. h1+h2.

O
5. SOKMP. Ответ: 180.

Применяемые факты из теоретической карты: 3.2.

№14. Большее основание трапеции вдвое длиннее ее наименьшего основания. Через точку скрещения диагоналей трапеции проведена Задачи к теоретической карте № 1 ровная, параллельная основанию. Отыскать отношение высот каждой из 2-ух образовавшихся трапеций к высоте данной трапеции.

План решения.

Пусть высота данной трапеции h.

1. ∆AOD~∆COB.

2. Отыскать коэффициент подобия.

3. .

Рис. 21 4. и .

Ответ: 1: 3; 2: 3.

Применяемые факты из теоретической карты: 3.2; 1.

15. В четырехугольнике ABCD сторона АВ равна стороне ВС, диагональ АС равна стороне CD Задачи к теоретической карте № 1, а угол АВС равен углу АCD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВС и ACD, относятся как 3:4. Отыскать отношение площадей этих треугольников.

План решения.

1. ∆АВС~∆ACD.

2. Отыскать коэффициент подобия треугольников.

3.

Ответ:

Рис. 22 Применяемые факты из теоретической карты: 2.1; 3.7.

№16. В треугольник со сторонами 10 см, 17 см и 21 см вписан прямоугольник с периметром 24 см так, что Задачи к теоретической карте № 1 одна из его сторон лежит на большей стороне треугольника. Отыскать стороны прямоугольника.

План решения.

1. Отыскать высоту треугольника BD.

2. Пусть ML=x. Выразить MN, BK через х.

3. ∆MBN~ ∆ABС.

4. .

5. Отыскать х.

Ответ: см, см.

Применяемые факты из теоретической карты: 4.1; 3.2.

№17. Высота остроугольного треугольника равна 25 см. На каком расстоянии от Задачи к теоретической карте № 1 верхушки необходимо провести прямую, перпендикулярную этой высоте, чтоб площадь треугольника разделилась напополам?

План решения.

1. ∆А1ВС1~∆АВС.

2.Отыскать коэффициент подобия.

3.ВН1.

Ответ: см.

Применяемые факты из теоретической карты: 4.1; 3.7; 3.2.

№18. Обосновать, что радиус окружности, проходящей через середины сторон треугольника, равен половине радиуса окружности, описанной около этого треугольника.

План подтверждения.

1. ∆А1ВС1 ~ ∆СВА.

2. Отыскать Задачи к теоретической карте № 1 коэффициент подобия треугольников.

3.

Применяемые факты из теоретической
карты: 4.1; 3.5.

№19. Снутри треугольника АВС взята случайная точка О и через нее проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые делят треугольник АВС на 6 частей, три из которых – треугольники. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники равны , , , радиус окружности, вписанной в треугольник Задачи к теоретической карте № 1 АВС равен . Обосновать, что

План подтверждения.

1. ∆DNO ~ ∆АВС,

∆OFE ~ ∆АВС,

∆KOM ~ ∆АВС.

2. , , .

3. Сложить равенства (2).

Применяемые факты из теоретической

Рис. 26 карты: 4.1; 3.4.

№20. В треугольнике АВС на стороне АС как на поперечнике построена окружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках С1 и А1 соответственно. Угол ВАС треугольника АСВ равен 400. Отыскать угол ВА1С Задачи к теоретической карте № 11.

План решения.

1.АА1, СС1 – высоты ∆АВС.

2. ∆А1ВС1 ~ ∆АВС.

3. ÐВА1С1.

Ответ: 400.

Применяемые факты из теоретической карты: 4.2; 1.

№21. Отрезок АВ есть поперечник круга, а точка С лежит вне этого круга. Отрезки АС и ВС пересекаются с окружностью в точках D и Е соответственно. Отыскать угол CBD, если площади треугольников DCE и Задачи к теоретической карте № 1 ABC относятся как 1:4.

План решения.

1. Коэффициент подобия ∆ECD и ∆АСВ.

2. .

3.

Ответ: 300.

Применяемые факты из теоретической карты: 4.2; 1.

Рис. 28

№22. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и СС1, пересекающиеся в точке Н. Вокруг треугольника ВНА1 описана окружность. Мера дуги ВА1 равна 600. Отыскать меру угла АСВ треугольника АВС.

План Задачи к теоретической карте № 1 решения.

1. Центр данной окружность принадлежит ВН.

2. Точка С1 лежит на данной окружности.

3. ∆ А1ВС1 ~ ∆ АВС.

4.

5.

Ответ: 300.

Применяемые факты из теоретической карты: 4.2.

№23. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12 см, а боковой стороны 18 см. К боковым сторонам треугольника проведены высоты. Вычислить длину отрезка, концы которого совпадают с основаниями высот.

План решения.

1. ∆А Задачи к теоретической карте № 11ВС1 ~ ∆АВС

2. .

3. А1С1.

Ответ: .

Применяемые факты из теоретической карты: 4.2.

№24. Обосновать, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами его ортоцентрического треугольника. (Ортоцентрическим именуется треугольник, верхушками которого являются основания высот данного треугольника).

План решения.

1. ∆А1В С1~ ∆АВС

2.

3. ∆А1В1С ~ ∆АВС

4.

5.

Применяемые факты из теоретической карты: 4.2;1.

№25. В остроугольном треугольнике АВСиз вершин А и Задачи к теоретической карте № 1 Сна стороны ВСи АВ опущены высоты АР и CQ. Вычислить длину стороны АС, если понятно, что периметр треугольника АВС равен 15, периметр треугольника BPQ равен 9, а радиус окружности, описанной около треугольника BPQ равен .

План решения.

1. ∆PBQ ~ ∆АВС.

2. Коэффициент подобия.

3. Радиус окружности,

описанной около ∆АВС.

4. cosB, sinB.

5. AC.

Ответ: 4,8.

Применяемые факты из Задачи к теоретической карте № 1 теоретической карты: 4.2; 3.5; 3.6

№26. Стороны треугольника равны 28 см, 32 см, 36 см. Найти периметр ортоцентрического треугольника.

План решения.

1. cos В, cos C, cos A.

2. А1В1, В1С1, А1С1.

3. Р . Ответ: 45 см.

Применяемые факты из теоретической

карты: 4.2; 3.6.

№27.В треугольнике ABC на средней полосы DE, параллельной AB, как на поперечнике построена окружность, пересекающая стороны AC и Задачи к теоретической карте № 1 BC в точках Mи N. НайтиMN, если BC=a, AC=b, AB=c.

С
План решения.

1. ∆ NMC ~ ∆ АВС.

2. Коэффициент подобия, равный соsС.

3. MN.

Ответ:

Применяемые факты из теоретической
карты: 4.2.


zadachi-konferencii-obmen-nauchnimi-znaniyami-v-oblasti-nanomaterialov-i-nanotehnologij-realizaciya-nauchnogo-i-tvorcheskogo-potenciala-molodezhi.html
zadachi-konferencii-struktura-doklada-opit-organizacii-mezhdisciplinarnih-proektov.html
zadachi-konkursa-1-privlech-vnimanie-molodezhi-k-izucheniyu-istorii-pervoj-mirovoj-vojni-i-irkutskoj-oblasti-2-vospitivat-u-molodezhi-chuvstvo-patriotizma-grazhdanstvennosti-lyubvi-k-rodine.html